একটি স্কুুলে ছাত্রদের ড্রিল করাবার সময় ৮, ১০ এবং ১২ সারিতে সাজানো যায়। আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ স্কুলে কমপক্সে কতজন ছাত্র আছে?

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

বীজগণিতে ঘন (Cube) সম্পর্কিত বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ সূত্র ব্যবহার করে জটিল রাশিকে সহজে উৎপাদকে বিশ্লেষণ ও সরলীকরণ করা হয়।

ঘনের মৌলিক ধারণা

কোনো সংখ্যাকে বা রাশিকে তিনবার গুণ করলে তাকে সেই সংখ্যার ঘন বলা হয়।

উদাহরণ:

$a\times a\times a=a^3$

ঘন সংবলিত গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলি

১. দুই রাশির যোগের ঘন

${(a+b)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

২. দুই রাশির বিয়োগের ঘন

${(a-b)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

৩. দুই ঘনের যোগ

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-\mathrm{ab}+b^2)$

৪. দুই ঘনের বিয়োগ

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+\mathrm{ab}+b^2)$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• ঘন মানে কোনো রাশির তৃতীয় ঘাত
• ঘন সূত্র উৎপাদক বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়
• যোগ ও বিয়োগের ঘনের সূত্র আলাদা
• দুই ঘনের যোগ ও বিয়োগের নির্দিষ্ট সূত্র রয়েছে

মনে রাখার উপায়

“দুই ঘনের যোগে মাঝখানে ঋণ, আর বিয়োগে মাঝখানে ধন” — এই নিয়ম মনে রাখলে সূত্র সহজে মনে থাকে।

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

সূত্র ৬. $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

প্রমাণ : $(a+b{)}^3=(a+b\left)\right(a+b{)}^2$

$=(a+b)(a^2+2ab+b^2)$

$=a(a^2+2ab+b^2)+b(a^2+2ab+b^2)$

$=a^3+2a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b+2a{b}^2+b^3$

$=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

$=a^3+b^3+3ab(a+b)$

অনুসিদ্ধান্ত ৯. $a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$

সূত্র ৭. $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)$

প্রমাণ : $(a-b{)}^3=(a-b\left)\right(a-b{)}^2$

$=(a-b)(a^2-2ab+b^2)$

$=a(a^2-2ab+b^2)-b(a^2-2ab+b^2)$

$=a^3-2a^{2}b+a{b}^2-a^{2}b+2a{b}^2-b^3$

$=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

$=a^3-b^3-3ab(a-b)$

অনুসিদ্ধান্ত ১০. $a^3-b^3=(a-b{)}^3+3ab(a-b)$

সূত্র ৮. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

প্রমাণ : $a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$

$=(a+b)\left\{\right(a+b{)}^2-3ab\}$

$=(a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab)$

$=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

সূত্র ৯. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

প্রমাণ : $a^3-b^3=(a-b{)}^3+3ab(a-b)$

$=(a-b)\left\{\right(a-b{)}^2+3ab\}$

$=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)$

$=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

উদাহরণ ১২. 2x + 6y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(2x+3y{)}^3$

$=(2x{)}^3+3(2x{)}^2.3y+3.2x(3y{)}^2+(3y{)}^3$

$=8x^3+3.4x^2.3y+3.2x.9y^2+27y^3$

$=8x^3+36x^{2}y+54x{y}^2+27y^3$

উদাহরণ ১৩. 2x - y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(2x-y{)}^3$

$=(2x{)}^3-3(2x{)}^2.y+3.2x.y^2-y^3$

$=8x^3-3.4x^2.y+3.2x.y^2-y^3$

$=8x^3-12x^{2}y+6x{y}^2-y^3$

উদাহরণ ১৪. x = 37 হলে, $8x^3+72x^2+216x+216$ এর মান কত?

সমাধান:  $8x^3+72x^2+216x+216$

$=(2x{)}^3+3.(2x{)}^2.6+3.2x.(6{)}^2+(6{)}^3$

$=(2x+6{)}^3=(2\times 37+6{)}^3$ [মান বসিয়ে]

$=(74+6{)}^3=(80{)}^3=512000$

উদাহরণ ১৫. যদি 7x - y = 8 এবং xy = 5 হয়, তবে $x^3-y^3+8(x+y{)}^2$ এর মান কত?

সমাধান:  $x^3-y^3+8(x+y{)}^2$

$=(x-y{)}^3+3xy(x-y)+8\{(x-y{)}^2+4xy\}$

$=(8{)}^3+3\times 5\times 8+8(8^2+4\times 5)$ [মান বসিয়ে]

$=8^3+15\times 8+8(8^2+4\times 5)$

$=8^3+15\times 8+8\times 84$

$=8(8^2+15+84)=8(64+15+84)$

$=8\times 163=1304$

উদাহরণ ১৬. যদি $a =\sqrt{3}+\sqrt{2}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $a^3+\frac{1}{a^3}=18\sqrt{3}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $a=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

উদাহরণ ১৭. x + y = 5, xy = 6 হলে এবং x > y হলে

ক) $2(x^2+y^2)$ এর মান নির্ণয় কর।

খ) $x^3–y^3-3(x^2+y^2)$ এর মান নির্ণয় কর।

গ) $x^5+y^5$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) আমরা জানি,

$=2(5^2-2.6)=2\times 13=26$

$\therefore 2(x^2+y^2)=26$

খ) দেওয়া আছে, $x+y=5$ এবং $xy=6, x>y$

$\therefore x-y=\sqrt{{(x+y)}^2–4xy}$ (প্রদত্ত শর্ত মোতাবেক ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)

$=\sqrt{5^2-4\times 6}=\sqrt{25-24}=\sqrt{1}=1$

$x^3-y^3-3(x^2+y^2)$

$=(x-y{)}^3+3xy(x-y)-\frac{3}{2}.2(x^2+y^2)$

$=1^3+3.6.1-\frac{3}{2}.26$

$=1+18-39$

$=-20$

$\therefore x^3-y^3-3(x^2+y^2)=-20$

গ) x + y = 5 এবং x - y = 1

যোগ করে, 2x = 6 $\therefore x=\frac{6}{2}=3$

বিয়োগ করে, 2y = 4 $\therefore y=\frac{4}{2}=2$

$\therefore x^5+y^5=3^5+2^5=243+32=275$